En théorie des probabilités, le théorème central limite (CLT) énonce que la distribution des moyennes d'échantillons tend vers une distribution normale (courbe en cloche) à mesure que la taille de l'échantillon augmente, indépendamment de la distribution originelle de la population, pourvu que les échantillons soient de taille identique et indépendants.
En d'autres termes, pour une population à variance finie, la moyenne des échantillons de taille suffisamment grande approximera la moyenne populationnelle, et leur distribution suivra une loi normale avec une variance proche de celle de la population, conformément à la loi des grands nombres.
Ce concept, esquissé par Abraham de Moivre en 1733, fut formalisé plus tard et nommé "théorème central limite" par le mathématicien hongrois George Pólya vers 1930.
Selon le CLT, la moyenne d'un échantillon se rapproche de la moyenne populationnelle à mesure que sa taille augmente, indépendamment de la forme de la distribution des données (normale ou asymétrique).
En pratique, des échantillons de 30 à 50 observations suffisent souvent pour que la distribution des moyennes soit approximativement normale. Même pour n=5 ou 8, l'approximation tient dans de nombreux cas. Plus n est grand, plus la forme graphique évoque une gaussienne.
Le CLT s'associe souvent à la loi des grands nombres : les moyennes et écarts-types d'échantillons convergent vers ceux de la population, facilitant les prédictions précises.
Le CLT est essentiel pour analyser les rendements d'actions ou d'indices boursiers, grâce à la facilité de génération de données financières abondantes. Investisseurs et analystes l'utilisent pour évaluer les performances, construire des portefeuilles et gérer les risques.
Exemple : pour estimer le rendement d'un indice de 1 000 actions, étudiez un échantillon aléatoire de 30 à 50 titres de secteurs variés, en remplaçant les sélectionnés pour éviter les biais. Cela permet une approximation fiable des rendements globaux.
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