En théorie des probabilités, le théorème central limite (CLT) stipule que la distribution d'une variable d'échantillon se rapproche d'une distribution normale (c'est-à-dire une « courbe en cloche ») à mesure que la taille de l'échantillon augmente, en supposant que tous les échantillons sont de taille identique, et indépendamment de la forme de distribution réelle de la population.
En d'autres termes, le CLT est une prémisse statistique selon laquelle, étant donné une taille d'échantillon suffisamment grande à partir d'une population avec un niveau de variance fini, la moyenne de toutes les variables échantillonnées de la même population sera approximativement égale à la moyenne de l'ensemble de la population. De plus, ces échantillons se rapprochent d'une distribution normale, leurs variances étant approximativement égales à la variance de la population à mesure que la taille de l'échantillon augmente, selon la loi des grands nombres.
Bien que ce concept ait été développé pour la première fois par Abraham de Moivre en 1733, il n'a été formalisé qu'en 1930, lorsque le célèbre mathématicien hongrois George Polya l'a surnommé le théorème central limite.
Selon le théorème central limite, la moyenne d'un échantillon de données sera plus proche de la moyenne de la population globale en question, à mesure que la taille de l'échantillon augmente, nonobstant la distribution réelle des données. En d'autres termes, les données sont exactes, que la distribution soit normale ou aberrante.
En règle générale, des tailles d'échantillon d'environ 30 à 50 sont jugées suffisantes pour que le CLT soit valable, ce qui signifie que la distribution des moyennes de l'échantillon est distribuée assez normalement. Par conséquent, plus on prend d'échantillons, plus les résultats représentés graphiquement prennent la forme d'une distribution normale. Notez, cependant, que la théorie de la limite centrale sera toujours approchée dans de nombreux cas pour des tailles d'échantillon beaucoup plus petites, telles que n=8 ou n=5.
Le théorème central limite est souvent utilisé en conjonction avec la loi des grands nombres, qui stipule que la moyenne des moyennes et des écarts types de l'échantillon se rapprochera de l'égalité de la moyenne et de l'écart type de la population à mesure que la taille de l'échantillon augmente, ce qui est extrêmement utile dans prédire avec précision les caractéristiques des populations.
Le CLT est utile lors de l'examen des rendements d'une action individuelle ou d'indices plus larges, car l'analyse est simple, en raison de la facilité relative à générer les données financières nécessaires. Par conséquent, les investisseurs de tous types s'appuient sur le CLT pour analyser les rendements boursiers, construire des portefeuilles et gérer les risques.
Supposons, par exemple, qu'un investisseur souhaite analyser le rendement global d'un indice boursier composé de 1 000 actions. Dans ce scénario, cet investisseur peut simplement étudier un échantillon aléatoire d'actions pour cultiver les rendements estimés de l'indice total. Pour être sûr, utilisez au moins 30 à 50 actions sélectionnées au hasard dans divers secteurs, qui devraient être échantillonnées pour que le théorème central limite soit valable. De plus, les actions précédemment sélectionnées doivent être remplacées par des noms différents pour aider à éliminer les biais.
