La moyenne harmonique est un type de moyenne numérique particulièrement adaptée aux données impliquant des relations multiplicatives ou des taux, comme les vitesses ou les ratios financiers. Elle se calcule en divisant le nombre d'observations par la somme des inverses de chaque valeur. Autrement dit, elle est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des valeurs.
Exemple pour les valeurs 1, 4 et 4 :
3 / (1/1 + 1/4 + 1/4) = 3 / 1,5 = 2.
L'inverse d'un nombre n est simplement 1/n.
La moyenne harmonique est idéale pour moyenner des éléments comme les tarifs ou les vitesses (ex. : vitesse moyenne sur plusieurs trajets de même durée). Elle gère les relations multiplicatives sans se préoccuper des dénominateurs communs.
En finance, la version pondérée est couramment utilisée pour les multiples comme le ratio cours/bénéfice (PER), car elle attribue un poids égal à chaque observation, contrairement à la moyenne arithmétique pondérée qui favorise les valeurs élevées.
La formule de la moyenne harmonique pondérée pour x1, x2, x3 avec poids w1, w2, w3 est :
H = ∑ wi / ∑ (wi / xi)
La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par leur nombre (ex. : notes de classe : (60+70+80+90+100)/5 = 80 %).
La moyenne géométrique, racine n-ième du produit, convient aux performances composées (ex. : rendements d'investissements).
La moyenne harmonique excelle pour les fractions, taux ou multiples.
Deux entreprises : une avec capitalisation de 100 milliards $ et bénéfices de 4 milliards $ (PER = 25) ; l'autre avec 1 milliard $ et 4 millions $ (PER = 250).
Indice : 10 % investi dans la première, 90 % dans la seconde.
Moyenne arithmétique pondérée (WAM) : 0,1 × 25 + 0,9 × 250 = 227,5.
Moyenne harmonique pondérée (WHM) : (0,1 + 0,9) / (0,1/25 + 0,9/250) ≈ 131,6.
La WAM surestime largement le PER moyen, démontrant l'avantage de la WHM pour ces ratios.
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